Λεπτομερέστερα

Προσθέτοντας capicúas

Προσθέτοντας capicúas

Ο Χουαν ήθελε να προσθέσει όλους τους τετραψήφιους αριθμούς capicúa αλλά ξέχασαν να προσθέσουν ένα από αυτά.

Ποιος αριθμός ξεχάσατε αν το ποσό που ελήφθη ήταν 490776;

Λύση

Θα προσπαθήσουμε να βρούμε μια συντόμευση για να προσθέσουμε όλες τις capicúas που θα έπρεπε να έχει προσθέσει ο Juan και τότε θα αφαιρέσουμε το ποσό που έχει πάρει. Αυτό θα καθορίσει ποιος έχει σταματήσει να προσθέτει.

Όπως θα έπρεπε να γράψουμε το ένα πάνω στο άλλο όλα τα τετραψήφια capicúas, το πρώτο πράγμα που πρέπει να σκεφτούμε είναι ένα σύστημα με το οποίο βεβαιώνεται ότι τα έχουμε όλα και στη συνέχεια μετράνε πόσες φιγούρες από κάθε τάξη που έχουμε χρησιμοποιήσει.

Ο πρώτος και ο τελευταίος αριθμός κάθε capicúa (αυτός των μονάδων και εκείνου των χιλιάδων μονάδων) πρέπει να είναι ίσος και δεν μπορεί να είναι μηδέν, δεδομένου ότι ο αριθμός θα θεωρείται ότι έχει μόνο τρία ψηφία. Έτσι για το πρώτο σχήμα έχουμε εννέα δυνατότητες. Ο δεύτερος και ο τρίτος, που είναι ίσοι, μπορεί να αξίζει τον αριθμό, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός, οπότε έχουμε δέκα δυνατότητες.

Αν κοιτάξετε λοιπόν, όταν τα τοποθετήσετε σε μια στήλη (η οποία θα είναι πολύ υψηλή), κάθε μία από τις εννέα μορφές των μονάδων θα εμφανιστεί επανειλημμένα δέκα φορές (επειδή, αν θέσουμε ένα από αυτά, μπορούμε να γράψουμε μόνο δέκα διαφορετικά capicúas), έτσι το άθροισμα αυτής της στήλης θα είναι (1 + 2 + ... + 9) * 10 = 10 * (1 + 9) * 9/2 = 450. Τοποθετώ ένα 0 στις μονάδες του ποσού και παίρνω 45.

Στη στήλη δεκάδων, ωστόσο, θα εμφανιστούν δέκα διαφορετικοί αριθμοί, αλλά επαναλαμβάνονται κάθε ένα εννέα φορές. Το άθροισμα θα είναι 9 * (0 + 1 + ... + 9) = 9 * (9 + 0) * 10/2 = 405. Στο σχήμα αυτό πρέπει να προσθέσουμε τα 45 που παίρνουμε, και πάλι, τοποθετούμε μηδέν και έχουμε 45.

Στη στήλη των εκατοντάδων, το άθροισμα θα είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό των δεκάδων, το οποίο γι 'αυτό είναι capicúas και θα δώσει πάλι 405. Όπως πήραμε 45, επιστρέφει για να δώσει 450, και πάλι 0 και παίρνουμε 45.

Στην τελευταία στήλη, από τις χιλιάδες μονάδες, το ποσό είναι ίδιο με το αντίστοιχο των μονάδων, 450. Εάν προσθέσουμε τις 45.000 μονάδες που απομένουν από τις εκατοντάδες, έχουμε 495, οι οποίοι είναι ο οριστικός αριθμός μονάδων χιλιάδες έχουμε.

Συνολικά, το ποσό θα πρέπει να δώσει 495000. Όπως υπολογίστηκε από τον Juan 490776, βλέπουμε ότι η διαφορά είναι ακριβώς 4224, πώς θα μπορούσε να είναι διαφορετικά, είναι capicúa και είναι αυτή που λείπει.